Statistische verdelingen

Waarom verdelingen gebruiken?

In de praktijk verlopen processen niet altijd hetzelfde. Het ene klantgesprek duurt 5 minuten, het andere 25 minuten. De ene dag komen er 50 orders binnen, de volgende dag 120. Die natuurlijke variatie hoort bij bedrijfsprocessen.

Vaste waarden, zoals ‘elke activiteit duurt precies 10 minuten’, leiden tot onrealistische simulaties. Met verdelingen leg je variatie wiskundig vast. Zo gedragen simulaties zich meer als echte processen. Je kunt verdelingen uitproberen met een eigen proces tijdens een gratis proefperiode.

Wat variatie betekent

Vergelijk twee scenario’s voor een taak die gemiddeld 10 minuten duurt:

Scenario	Verdeling	Effect op de simulatie
Vast: 10 min	Geen variatie	Onrealistische wachtrijen, voorspelbare patronen
Normaal (gemiddelde=10, standaardafwijking=3)	Realistische variatie	Natuurlijk wachtrijgedrag, realistische vertragingen

Het tweede scenario komt beter overeen met de werkelijkheid. Sommige taken zijn snel klaar, andere duren langer. Die variatie veroorzaakt de wachtrijen die je in echte processen ziet.

Beschikbare verdelingen

ProcessMind biedt negen verdelingstypen om verschillende soorten variatie te modelleren:

Verdeling	Geschikt voor	Belangrijkste parameters
Vast	Constante, onveranderlijke waarden	waarde
Normaal	Symmetrische variatie rond het gemiddelde	mean, stdDev
Uniform	Gelijke kans op elke waarde binnen een bereik	min, max
Driehoekig	Bereik met een meest waarschijnlijke waarde	min, mode, max
Poisson	Willekeurige aankomsten van gebeurtenissen	lambda, rateUnit
Lognormaal	Scheef naar rechts (meestal snel, soms lang)	mean, stdDev
Weibull	Betrouwbaarheids- en storingsanalyse	scale, shape
Bèta	Flexibele vorm tussen min en max	min, max, alpha, beta
Pearson VI	Complexe scheve patronen	alpha1, alpha2, beta

Vaste verdeling

De eenvoudigste verdeling: geeft altijd dezelfde waarde.

Parameters

Parameter	Beschrijving
waarde	De constante waarde die wordt teruggegeven

Kenmerken

• Geen enkele variatie
• Elke steekproef geeft precies de opgegeven waarde
• Handig voor het modelleren van systeemgestuurde of geautomatiseerde stappen

Wanneer gebruiken

• Geautomatiseerde systeemreacties met een vaste timing
• Wettelijk vastgelegde time-outs of deadlines
• Een eerste simulatie opzetten voordat je variatie toevoegt
• SLA’s of contractuele tijdslimieten modelleren

Voorbeeld

Een automatisch verstuurde e-mail wordt altijd precies na 5 seconden verzonden.

Normale verdeling (Gauss)

De bekende klokvorm: waarden liggen symmetrisch rond een gemiddelde. Hoe verder een waarde van het midden ligt, hoe kleiner de kans erop.

Parameters

Parameter	Beschrijving
mean	De gemiddelde waarde (het midden van de curve)
stdDev	Standaardafwijking (spreiding van de waarden)

Kenmerken

• Symmetrisch rond het gemiddelde
• 68% van de waarden valt binnen 1 standaardafwijking
• 95% van de waarden valt binnen 2 standaardafwijkingen
• 99,7% van de waarden valt binnen 3 standaardafwijkingen
• Kan in theorie negatieve waarden opleveren (de simulatie houdt hier rekening mee)

Wanneer gebruiken

• Verwerkingstijden die symmetrisch rond een gemiddelde variëren
• Metingen met willekeurige meetfouten
• Hoeveelheden waarop veel kleine, onafhankelijke factoren van invloed zijn

Voorbeeld

Een taak voor gegevensinvoer duurt gemiddeld 5 minuten, met een standaardafwijking van 1 minuut:

• 68% van de invoer duurt 4-6 minuten
• 95% duurt 3-7 minuten
• Slechts enkele invoertaken duren minder dan 2 of meer dan 8 minuten

Uniforme verdeling

Elke waarde binnen een bereik is even waarschijnlijk. Zo ontstaat een vlakke kansverdeling.

Parameters

Parameter	Beschrijving
min	Laagst mogelijke waarde
max	Hoogst mogelijke waarde

Kenmerken

• Vlakke kansverdeling: geen enkele waarde is waarschijnlijker dan een andere
• Duidelijke grenzen bij min en max
• Het gemiddelde is precies (min + max) / 2

Wanneer gebruiken

• Als je alleen het bereik kent, maar niet de gebruikelijke waarde
• Een willekeurige waarde uit een bereik kiezen
• Wachttijd tot een gepland moment
• Onzekerheid modelleren als je geen historische data hebt

Voorbeeld

Een goedkeuring duurt tussen de 2 en 8 minuten, maar het is niet bekend wat gebruikelijk is. Elke duur binnen dit bereik is even waarschijnlijk.

Driehoekige verdeling

Een eenvoudige verdeling met een minimum, maximum en meest waarschijnlijke waarde (modus). De verdeling heeft de vorm van een driehoek.

Parameters

Parameter	Beschrijving
min	Laagst mogelijke waarde
mode	Meest waarschijnlijke waarde (de top van de driehoek)
max	Hoogst mogelijke waarde

Kenmerken

• Waarden liggen meestal rond de modus
• Begrensd door min en max (geen uitschieters daarbuiten)
• Asymmetrisch als mode ≠ (min + max) / 2
• Eenvoudig te schatten op basis van vakkennis

Wanneer gebruiken

• Als je weet: “meestal X, maar het kan variëren van Y tot Z”
• Bij schattingen door experts
• Als Normaal onrealistische negatieve waarden kan opleveren

Voorbeeld

Een factuur controleren:

• Best case (min): 2 minuten
• Gebruikelijk (mode): 5 minuten
• Worst case (max): 15 minuten

De meeste controles duren ongeveer 5 minuten. Bij complexe facturen kan dit oplopen tot 15 minuten.

Poisson-verdeling

Modelleert het aantal gebeurtenissen binnen een vaste periode en is geschikt voor aankomstprocessen.

Parameters

Parameter	Beschrijving
lambda	Gemiddeld aantal gebeurtenissen per tijdseenheid
rateUnit	Tijdseenheid voor het percentage (perHour, perDay, perWeek, perMonth, perYear)

Kenmerken

• Discrete waarden (gehele getallen: 0, 1, 2, 3…)
• De variantie is gelijk aan het gemiddelde
• Gebeurtenissen zijn onafhankelijk
• Geschikt voor het modelleren van “willekeurige aankomsten”

Wanneer gebruiken

• Aankomsten van cases in het proces
• Aankomsten van klanten
• Orders aanmaken
• Situaties met een “aantal gebeurtenissen per tijdseenheid”

Voorbeeld

Lambda=20, rateUnit=perDay modelleert ongeveer 20 cases die per dag binnenkomen. De ene dag kunnen het er 15 zijn, de andere 25. Dat is de natuurlijke variatie van willekeurige aankomsten.

Lognormale verdeling

Een naar rechts scheve verdeling: de meeste waarden zijn klein, maar soms komen grote waarden voor. De logaritmen van de waarden volgen een normale verdeling.

Parameters

Parameter	Beschrijving
mean	Gemiddelde van de gegenereerde waarden (niet van de logaritmen)
stdDev	Standaardafwijking van de gegenereerde waarden (niet van de logaritmen)

Kenmerken

• Altijd positief (negatieve waarden zijn niet mogelijk)
• Naar rechts scheef: lange staart richting hogere waarden
• De meeste waarden liggen aan de lage kant
• Soms komen hoge waarden voor

Wanneer gebruiken

• Taken die meestal snel klaar zijn, maar soms veel langer duren
• Financiële data en inkomensverdelingen
• Reactietijden met af en toe vertraging
• Tijd om bugs op te lossen

Voorbeeld

Tickets voor technische ondersteuning:

• De meeste zijn binnen 1-2 uur opgelost
• Sommige kosten een hele dag
• Zeldzame, complexe problemen kosten meerdere dagen

De lognormale verdeling past bij dit patroon: “meestal snel, soms lang”.

Weibull-verdeling

Een flexibele verdeling die vaak wordt gebruikt voor betrouwbaarheidsanalyse en storingsanalyse.

Parameters

Parameter	Beschrijving
scale	Schaalparameter (kenmerkende levensduur)
shape	Vormparameter (bepaalt de vorm van de verdeling)

Effect van de vormparameter

Waarde van shape	Gedrag van de verdeling
shape kleiner dan 1	Dalend storingspercentage (kindersterfte)
shape = 1	Constant storingspercentage (exponentiële verdeling)
shape groter dan 1	Stijgend storingspercentage (slijtage)

Wanneer gebruiken

• Tijd tot een apparaat defect raakt
• Analyse van tijd tot een gebeurtenis
• Betrouwbaarheid modelleren
• Als je de vorm van de verdeling flexibel wilt instellen

Bèta-verdeling

Een flexibele verdeling die waarden genereert tussen een minimum en maximum. Twee parameters bepalen de vorm. Dit is de gegeneraliseerde bèta-verdeling met vier parameters.

Parameters

Parameter	Beschrijving
min	Laagst mogelijke waarde
max	Hoogst mogelijke waarde
alpha	Eerste vormparameter (α > 0)
beta	Tweede vormparameter (β > 0)

Kenmerken

• Waarden liggen altijd tussen min en max
• De vorm is zeer flexibel en hangt af van α en β
• Bij α = β is de verdeling symmetrisch rond het midden van [min, max]
• Bij α < β liggen waarden vaker rond min (scheef naar links)
• Bij α > β liggen waarden vaker rond max (scheef naar rechts)
• Bij α = β = 1 is de verdeling uniform op [min, max]
• Gemiddelde = min + (max − min) × α / (α + β)

Effect van de vormparameter

Parameters	Gedrag van de verdeling
α = 1, β = 1	Uniform (vlak) over [min, max]
α = β	Symmetrische klokvorm rond het midden
α < β	Scheef naar links (waarden liggen vaker rond min)
α > β	Scheef naar rechts (waarden liggen vaker rond max)
α < 1, β < 1	U-vormig (waarden liggen vaker aan beide uiteinden)

Wanneer gebruiken

• Begrensde waarden waarvan je het bereik kent en waarvan je de verdeling wilt bepalen
• Taakduren die vaker aan één kant van een bekend bereik liggen
• Kansen of slagingspercentages modelleren (gebruik min=0, max=1)
• Kwaliteitsscores, voltooiingspercentages of opbrengstpercentages
• Schattingen van experts met een bekend bereik en een idee van waar waarden meestal liggen

Voorbeeld

Een controletaak duurt tussen de 2 en 15 minuten. De meeste controles zijn aan de korte kant: gebruik Beta(min=2, max=15, α=2, β=5). Het gemiddelde is ongeveer 2 + 13 × 2/7 ≈ 5,7 minuten. Waarden liggen vaker aan de lage kant, maar zijn nooit lager dan 2 of hoger dan 15.

Pearson VI-verdeling

Een geavanceerde verdeling voor complexe scheve patronen die niet goed bij eenvoudigere modellen passen.

Parameters

Parameter	Beschrijving
alpha1	Eerste vormparameter
alpha2	Tweede vormparameter
beta	Schaalparameter

Wanneer gebruiken

• Complexe verdelingen die uit data-analyse zijn afgeleid
• Als eenvoudigere verdelingen niet bij je historische data passen
• Geavanceerde statistische modellen

De juiste verdeling kiezen

Snel overzicht: verwerkingstijden

Situatie	Aanbevolen verdeling
Tijden variëren symmetrisch rond een gemiddelde	Normaal
Je kent alleen het bereik (min tot max)	Uniform
Je kent de gebruikelijke tijd, het beste en het slechtste geval	Driehoekig
Meestal snel, soms veel langer	Lognormaal
De tijd is constant (komt zelden voor)	Vast
Verhoudingen of kansen (0 tot 1)	Bèta

Snel overzicht: aankomstpercentages

Situatie	Aanbevolen verdeling
Willekeurige, onafhankelijke aankomsten	Poisson
Aankomsten met een constant percentage	Vast

Aanbevolen werkwijzen

Begin eenvoudig

Begin met Normaal of Driehoekig. Deze verdelingen zijn makkelijk te begrijpen en in te stellen, en werken meestal goed genoeg. Maak het alleen ingewikkelder als dat nodig is.

Gebruik vakkennis

Experts op het gebied kunnen goede schattingen geven:

• “Beste geval?” → minimum
• “Gebruikelijk?” → gemiddelde of modus
• “Slechtste geval?” → maximum

Controleer met data

Als je historische data hebt:

1. Pas verdelingen aan op je data
2. Vergelijk de simulatieresultaten met de werkelijke prestaties
3. Verfijn de parameters van de verdeling

Houd rekening met uitschieters

Echte processen hebben vaak uitschieters. Lognormaal en Weibull kunnen deze beter modelleren dan Normaal of Driehoekig.

Kies een verdeling die bij het proces past

• Symmetrische variatie → Normaal
• Begrensde variatie → Driehoekig of Uniform
• Scheef naar rechts → Lognormaal
• Verhoudingen (0 tot 1) → Bèta
• Complexe patronen → Weibull of Pearson VI

Genereer een BPMN-model op maat

Volgende stappen

Zo werkt het

Lees hoe de simulatie-engine verdelingen gebruikt.