Statistische verdelingen
Waarom verdelingen gebruiken?
In de praktijk variëren processen. Het ene gesprek met de klantenservice duurt 5 minuten, het andere 25 minuten. Op de ene dag komen 50 orders binnen, op de volgende 120. Deze natuurlijke variatie hoort bij bedrijfsprocessen.
Vaste waarden, zoals “elke activity duurt precies 10 minuten”, leiden tot onrealistische simulaties. Verdelingen leggen variatie wiskundig vast, zodat simulaties zich gedragen als echte processen.
Het effect van variatie
Bekijk twee scenario’s voor een Task met een gemiddelde duur van 10 minuten:
| Scenario | Verdeling | Effect op simulatie |
|---|---|---|
| Vast 10 min. | Geen variatie | Onrealistische wachtrijen, voorspelbare patronen |
| Normal (mean=10, stdDev=3) | Realistische variatie | Natuurlijk wachtrijgedrag, realistische vertragingen |
Het tweede scenario sluit beter aan bij de werkelijkheid: sommige taken zijn snel klaar, andere duren langer. Die variatie veroorzaakt de wachtrijeffecten die je in echte processen ziet.
Beschikbare verdelingen
ProcessMind biedt negen typen verdelingen om verschillende soorten variatie te modelleren:
| Verdeling | Geschikt voor | Belangrijkste parameters |
|---|---|---|
| Vast | Constante, onveranderlijke waarden | value |
| Normaal | Symmetrische variatie rond het gemiddelde | mean, stdDev |
| Uniform | Gelijke kans binnen een bereik | min, max |
| Driehoekig | Bereik met een meest waarschijnlijke waarde | min, mode, max |
| Poisson | Willekeurige aankomsten van gebeurtenissen | lambda, rateUnit |
| Lognormaal | Rechts-scheef, meestal snel en soms lang | mean, stdDev |
| Weibull | Betrouwbaarheids- en storingsanalyse | scale, shape |
| Bèta | Flexibele vorm tussen min en max | min, max, alpha, beta |
| Pearson VI | Complexe scheve patronen | alpha1, alpha2, beta |
Fixed-verdeling
De eenvoudigste verdeling: geeft altijd dezelfde waarde terug.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| waarde | De vaste waarde die wordt geretourneerd |
Kenmerken
- Helemaal geen variatie
- Elke steekproef geeft precies de opgegeven waarde terug
- Handig voor systeemgestuurde of geautomatiseerde stappen
Wanneer gebruiken
- Geautomatiseerde systeemreacties met een vaste doorlooptijd
- Wettelijke time-outs of deadlines
- Een eerste simulatie opzetten voordat je variatie toevoegt
- SLA’s of contractuele tijdslimieten modelleren
Voorbeeld
Een automatisch gegenereerde e-mail wordt altijd precies na 5 seconden verzonden.
Normal-verdeling (Gauss)
De bekende “klokcurve”: waarden clusteren symmetrisch rond een gemiddelde. Hoe verder je van het midden af zit, hoe kleiner de kans.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| mean | De gemiddelde waarde, het midden van de curve |
| stdDev | Standaardafwijking, de spreiding van de waarden |
Kenmerken
- Symmetrisch rond het gemiddelde
- 68% van de waarden valt binnen 1 standaardafwijking
- 95% van de waarden valt binnen 2 standaardafwijkingen
- 99,7% van de waarden valt binnen 3 standaardafwijkingen
- Kan theoretisch negatieve waarden opleveren, maar de simulatie handelt dit af
Wanneer gebruiken
- Verwerkingstijden die symmetrisch rond een gemiddelde variëren
- Metingen met willekeurige fouten
- Elke grootheid die wordt beïnvloed door veel kleine, onafhankelijke factoren
Voorbeeld
Een datainvoertaak duurt gemiddeld 5 minuten, met een standaardafwijking van 1 minuut:
- 68% van de invoer duurt 4 tot 6 minuten
- 95% duurt 3 tot 7 minuten
- Een klein aantal duurt minder dan 2 of meer dan 8 minuten
Uniform-verdeling
Elke waarde binnen een bereik heeft dezelfde kans. Zo ontstaat een vlakke kansverdeling.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| min | Kleinst mogelijke waarde |
| max | Grootst mogelijke waarde |
Kenmerken
- Vlakke kansverdeling: geen enkele waarde is waarschijnlijker dan een andere
- Duidelijke grenzen bij min en max
- Het gemiddelde is precies (min + max) / 2
Wanneer gebruiken
- Als je alleen het bereik kent, maar niet de typische waarde
- Willekeurige selectie uit een bereik
- Tijd die je wacht op een gepland event
- Onzekerheid modelleren als je geen historische data hebt
Voorbeeld
Een goedkeuring duurt ergens tussen 2 en 8 minuten, maar je weet niet wat gebruikelijk is. Alle doorlooptijden binnen dit bereik zijn even waarschijnlijk.
Triangular-verdeling
Een eenvoudige verdeling met een minimum, maximum en meest waarschijnlijke waarde, de mode. Samen vormen die een driehoek.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| min | Kleinst mogelijke waarde |
| mode | Meest waarschijnlijke waarde, de top van de driehoek |
| max | Grootst mogelijke waarde |
Kenmerken
- Waarden clusteren rond de mode
- Begrensd door min en max, zonder uitschieters daarbuiten
- Asymmetrisch als mode ≠ (min + max) / 2
- Eenvoudig te schatten op basis van deskundige kennis
Wanneer gebruiken
- Als je weet: “meestal X, maar het kan variëren van Y tot Z”
- Situaties waarin experts een schatting maken
- Als Normal onrealistische negatieve waarden kan opleveren
Voorbeeld
Een factuurbeoordeling:
- Beste geval (min): 2 minuten
- Typisch (mode): 5 minuten
- Slechtste geval (max): 15 minuten
De meeste beoordelingen duren ongeveer 5 minuten. Bij complexe facturen kan de doorlooptijd oplopen tot 15 minuten.
Schatting door experts
De triangular-verdeling sluit goed aan op schattingen van experts. Vraag: “Wat is de tijd in het beste geval? Wat is typisch? Wat is de tijd in het slechtste geval?” Dan krijg je min, mode en max rechtstreeks.
Poisson-verdeling
Modelleert het aantal events binnen een vaste periode en is ideaal voor aankomstprocessen.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| lambda | Gemiddelde frequentie van events |
| rateUnit | Tijdseenheid voor de frequentie (perHour, perDay, perWeek, perMonth, perYear) |
Kenmerken
- Discrete waarden, hele getallen: 0, 1, 2, 3…
- De variantie is gelijk aan het gemiddelde
- Events zijn onafhankelijk
- Modelleert “willekeurige aankomsten” goed
Wanneer gebruiken
- Aankomst van cases in het proces
- Aankomst van klanten
- Genereren van orders
- Elke situatie met “events per periode”
Voorbeeld
Lambda=20 en rateUnit=perDay modelleren ongeveer 20 cases die per dag binnenkomen. Op sommige dagen zijn het er 15 en op andere 25. Dat is de natuurlijke variatie van willekeurige aankomsten.
Lognormal-verdeling
Een rechts-scheve verdeling waarbij de meeste waarden klein zijn, maar af en toe een grote waarde voorkomt. De logaritme van de waarden volgt een normale verdeling.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| mean | Gemiddelde van de onderliggende normale verdeling |
| stdDev | Standaardafwijking van de onderliggende normale verdeling |
Kenmerken
- Altijd positief, negatieve waarden zijn niet mogelijk
- Rechts-scheef: een lange staart richting hogere waarden
- De meeste waarden clusteren aan de onderkant
- Af en toe een grote waarde
Wanneer gebruiken
- Taken die meestal snel klaar zijn, maar soms veel langer duren
- Financiële data en inkomensverdelingen
- Reactietijden met af en toe vertraging
- Tijd die nodig is om bugs op te lossen
Voorbeeld
Tickets voor technische ondersteuning:
- De meeste worden binnen 1 tot 2 uur opgelost
- Sommige duren een hele dag
- Zeldzame, complexe problemen duren meerdere dagen
De lognormal-verdeling legt dit patroon van “meestal snel, soms lang” goed vast.
Weibull-verdeling
Een flexibele verdeling die vaak wordt gebruikt voor betrouwbaarheidsengineering en storingsanalyse.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| scale | Schaalparameter, de kenmerkende levensduur |
| shape | Vormparameter, bepaalt de vorm van de verdeling |
Effect van de vormparameter
| Waarde van shape | Gedrag van de verdeling |
|---|---|
| shape lager dan 1 | Afnemende storingsfrequentie, kindersterfte |
| shape = 1 | Constante storingsfrequentie, exponentiële verdeling |
| shape hoger dan 1 | Toenemende storingsfrequentie, slijtage |
Wanneer gebruiken
- Storingsduur van apparatuur
- Analyse van tijd tot een event
- Betrouwbaarheid modelleren
- Als je flexibele controle over de vorm van de verdeling nodig hebt
Beta-verdeling
Een flexibele verdeling die waarden tussen een minimum en maximum genereert. De vorm wordt bepaald door twee parameters. Dit is de gegeneraliseerde Beta-verdeling met vier parameters.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| min | Kleinst mogelijke waarde |
| max | Grootst mogelijke waarde |
| alpha | Eerste vormparameter (α > 0) |
| beta | Tweede vormparameter (β > 0) |
Kenmerken
- Waarden liggen altijd tussen min en max
- Zeer flexibele vorm, afhankelijk van α en β
- Als α = β, is de verdeling symmetrisch rond het midden van [min, max]
- Als α < β, hellen de waarden naar min, dus naar links
- Als α > β, hellen de waarden naar max, dus naar rechts
- Als α = β = 1, ontstaat een uniforme verdeling op [min, max]
- Gemiddelde = min + (max − min) × α / (α + β)
Effect van de vormparameter
| Parameters | Gedrag van de verdeling |
|---|---|
| α = 1, β = 1 | Uniform, vlak verdeeld over [min, max] |
| α = β | Symmetrische klokvorm, gecentreerd rond het midden |
| α < β | Links-scheef, waarden clusteren rond min |
| α > β | Rechts-scheef, waarden clusteren rond max |
| α < 1, β < 1 | U-vorm, waarden clusteren aan beide uiteinden |
Wanneer gebruiken
- Begrensde grootheden waarvan je het bereik kent en waarvan je de vorm wilt bepalen
- Taakduur die clustert aan één kant van een bekend bereik
- Waarschijnlijkheden of succespercentages modelleren, met min=0 en max=1
- Kwaliteitsscores, voltooiingspercentages of opbrengstpercentages
- Schattingen van experts met een bekend bereik en een idee van waar waarden meestal clusteren
Voorbeeld
Een beoordelingstaak duurt tussen 2 en 15 minuten. De meeste beoordelingen zijn sneller klaar: gebruik Beta(min=2, max=15, α=2, β=5). Het gemiddelde is ongeveer 2 + 13 × 2/7 ≈ 5,7 minuten. De waarden clusteren aan de onderkant, maar komen nooit onder 2 of boven 15 minuten uit.
Pearson VI-verdeling
Een geavanceerde verdeling voor complexe scheve patronen die niet goed passen bij eenvoudigere modellen.
Parameters
| Parameter | Beschrijving |
|---|---|
| alpha1 | Eerste vormparameter |
| alpha2 | Tweede vormparameter |
| beta | Schaalparameter |
Wanneer gebruiken
- Complexe verdelingen die uit data-analyse zijn afgeleid
- Als eenvoudigere verdelingen niet bij je historische data passen
- Geavanceerde statistische modelleersituaties
De juiste verdeling kiezen
Snel overzicht: verwerkingstijden
| Jouw situatie | Aanbevolen verdeling |
|---|---|
| Tijden variëren symmetrisch rond een gemiddelde | Normaal |
| Je kent alleen het bereik, van min tot max | Uniform |
| Je kent de gebruikelijke tijd, het beste en het slechtste geval | Driehoekig |
| Meestal snel, soms veel langer | Lognormaal |
| De tijd is constant, wat zelden voorkomt | Vast |
| Verhoudingen of kansen, van 0 tot 1 | Bèta |
Snel overzicht: aankomstfrequenties
| Jouw situatie | Aanbevolen verdeling |
|---|---|
| Willekeurige, onafhankelijke aankomsten | Poisson |
| Aankomsten met een constante frequentie | Vast |
Best practices
Begin eenvoudig
Begin met Normal- of Triangular-verdelingen. Die zijn eenvoudig te begrijpen en te parametriseren en werken meestal goed genoeg. Voeg alleen complexiteit toe als dat nodig is.
Gebruik kennis van experts
Experts op het gebied van het proces kunnen goede schattingen geven:
- “Beste geval?” → minimum
- “Typisch?” → gemiddelde of mode
- “Slechtste geval?” → maximum
Valideer met data
Als je historische data hebt:
- Pas verdelingen aan op je data
- Vergelijk de gesimuleerde uitvoer met de werkelijke prestaties
- Verfijn de parameters van de verdeling
Houd rekening met uitschieters
Echte processen hebben vaak uitschieters. Lognormal en Weibull kunnen die beter vastleggen dan Normal of Triangular.
Laat de verdeling aansluiten op het procesgedrag
- Symmetrische variatie → Normal
- Begrensde variatie → Triangular of Uniform
- Rechts-scheef → Lognormal
- Verhoudingen, van 0 tot 1 → Beta
- Complexe patronen → Weibull of Pearson VI