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Statistische Verteilungen

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Warum Verteilungen verwenden?

In der Praxis weisen Prozesse Schwankungen auf. Ein Kundenserviceanruf dauert 5 Minuten, ein anderer 25 Minuten. An einem Tag gehen 50 Bestellungen ein, am nächsten 120. Diese natürliche Variabilität ist ein grundlegendes Merkmal von Geschäftsprozessen.

Feste Werte, etwa „jede Aktivität dauert genau 10 Minuten“, führen zu unrealistischen Simulationen. Verteilungen bilden Schwankungen mathematisch ab und erzeugen Simulationen, die sich wie reale Prozesse verhalten.

Auswirkungen von Schwankungen

Betrachten Sie zwei Szenarien für eine Task mit einer durchschnittlichen Dauer von 10 Minuten:

Szenario Verteilung Auswirkung auf die Simulation
Fest 10 Min. Keine Schwankung Unrealistisches Warteschlangenverhalten, vorhersehbare Muster
Normal (Mittelwert=10, stdDev=3) Realistische Schwankung Natürliches Warteschlangenverhalten, realistische Verzögerungen

Das zweite Szenario bildet die Realität besser ab: Einige Tasks sind schnell erledigt, andere dauern länger. Diese Schwankungen führen zu den Warteschlangeneffekten, die in realen Prozessen auftreten.

Verfügbare Verteilungen

ProcessMind stellt neun Verteilungstypen bereit, um unterschiedliche Arten von Schwankungen zu modellieren:

Verteilung Geeignet für Wichtige Parameter
Fest Konstante, unveränderliche Werte value
Normal Symmetrische Schwankungen um den Mittelwert mean, stdDev
Gleichverteilt Gleiche Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Wertebereichs min, max
Dreiecksverteilung Wertebereich mit einem wahrscheinlichsten Wert min, mode, max
Poisson Zufällige Ereigniseingänge lambda, rateUnit
Lognormal Rechtsschief, meist schnell, gelegentlich lang mean, stdDev
Weibull Zuverlässigkeits- und Ausfallanalyse scale, shape
Beta Flexible Form zwischen Minimum und Maximum min, max, alpha, beta
Pearson VI Komplexe schiefe Muster alpha1, alpha2, beta

Feste Verteilung

Die einfachste Verteilung: Sie gibt immer denselben Wert zurück.

Parameter

Parameter Beschreibung
Wert Der konstante Wert, der zurückgegeben werden soll

Eigenschaften

  • Keine Schwankungen
  • Jede Stichprobe gibt exakt den angegebenen Wert zurück
  • Geeignet zur Modellierung systemgesteuerter oder automatisierter Schritte

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Automatisierte Systemantworten mit gleichbleibender Dauer
  • Gesetzlich vorgegebene Timeouts oder Fristen
  • Erste Simulationseinrichtung, bevor Schwankungen ergänzt werden
  • Modellierung von SLAs oder vertraglichen Zeitvorgaben

Beispiel

Eine vom System erzeugte E-Mail wird immer exakt nach 5 Sekunden versendet.

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Die bekannte “Glockenkurve”: Die Werte gruppieren sich symmetrisch um einen Mittelwert. Je weiter sie vom Zentrum entfernt liegen, desto geringer ist ihre Wahrscheinlichkeit.

Parameter

Parameter Beschreibung
mean Der Mittelwert, also das Zentrum der Kurve
stdDev Standardabweichung, also die Streuung der Werte

Eigenschaften

  • Symmetrisch um den Mittelwert
  • 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung
  • 95 % der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen
  • 99,7 % der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen
  • Kann theoretisch negative Werte erzeugen, die Simulation berücksichtigt dies

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Bearbeitungszeiten, die symmetrisch um einen Mittelwert schwanken
  • Messwerte mit zufälligen Fehlern
  • Beliebige Größen, die von vielen kleinen, unabhängigen Faktoren beeinflusst werden

Beispiel

Eine Dateneingabe dauert durchschnittlich 5 Minuten bei einer Standardabweichung von 1 Minute:

  • 68 % der Eingaben dauern 4 bis 6 Minuten
  • 95 % dauern 3 bis 7 Minuten
  • Nur wenige dauern weniger als 2 oder mehr als 8 Minuten

Gleichverteilung

Jeder Wert innerhalb eines Wertebereichs ist gleich wahrscheinlich. Dadurch entsteht eine flache Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Parameter

Parameter Beschreibung
min Kleinster möglicher Wert
max Größter möglicher Wert

Eigenschaften

  • Flache Wahrscheinlichkeit: Kein Wert ist wahrscheinlicher als ein anderer
  • Klare Grenzen bei min und max
  • Der Mittelwert ist exakt (min + max) / 2

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Wenn Sie nur den Wertebereich, nicht aber den typischen Wert kennen
  • Zufällige Auswahl aus einem Wertebereich
  • Wartezeit bis zu einem geplanten Ereignis
  • Modellierung von Unsicherheit ohne historische Daten

Beispiel

Eine Genehmigung dauert zwischen 2 und 8 Minuten, ohne dass Informationen über die typische Dauer vorliegen. Alle Dauern innerhalb dieses Bereichs sind gleich wahrscheinlich.

Dreiecksverteilung

Eine einfache Verteilung mit minimalem, maximalem und wahrscheinlichstem Wert (Modus), die eine Dreiecksform bildet.

Parameter

Parameter Beschreibung
min Kleinster möglicher Wert
mode Wahrscheinlichster Wert, also die Spitze des Dreiecks
max Größter möglicher Wert

Eigenschaften

  • Die Werte gruppieren sich um den Modus
  • Durch min und max begrenzt, ohne Ausreißer außerhalb dieses Bereichs
  • Asymmetrisch, wenn mode ≠ (min + max) / 2
  • Einfach anhand von Expertenwissen zu schätzen

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Wenn Sie wissen: “Typischerweise X, möglich sind jedoch Werte von Y bis Z”
  • Szenarien mit Expertenschätzungen
  • Wenn die Normalverteilung unrealistische negative Werte erzeugen könnte

Beispiel

Prüfung einer Rechnung:

  • Best Case (min): 2 Minuten
  • Typischer Fall (mode): 5 Minuten
  • Worst Case (max): 15 Minuten

Die meisten Prüfungen dauern etwa 5 Minuten. Bei komplexen Rechnungen kann sich die Dauer bis auf 15 Minuten verlängern.

Expertenschätzung

Die Dreiecksverteilung eignet sich besonders gut für Expertenschätzungen. Fragen Sie: “Wie lange dauert es im Best Case? Wie lange typischerweise? Wie lange im Worst Case?” So erhalten Sie min, mode und max direkt.

Poisson-Verteilung

Modelliert die Anzahl der Ereignisse innerhalb eines festen Zeitraums und eignet sich besonders für Eingangsprozesse.

Parameter

Parameter Beschreibung
lambda Durchschnittliche Ereignisrate
rateUnit Zeiteinheit der Rate (perHour, perDay, perWeek, perMonth, perYear)

Eigenschaften

  • Diskrete Werte, also ganze Zahlen: 0, 1, 2, 3 …
  • Die Varianz entspricht dem Mittelwert
  • Die Ereignisse sind unabhängig
  • Modelliert “zufällige Eingänge” gut

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Eingänge von Cases in den Prozess
  • Eingänge von Kunden
  • Generierung von Bestellungen
  • Beliebige Szenarien mit “Ereignissen pro Zeitraum”

Beispiel

Lambda=20 und rateUnit=perDay modellieren etwa 20 eintreffende Cases pro Tag. An manchen Tagen können es 15, an anderen 25 sein: die natürliche Schwankung zufälliger Eingänge.

Lognormalverteilung

Eine rechtsschiefe Verteilung, bei der die meisten Werte klein sind, gelegentlich jedoch große Werte auftreten. Der Logarithmus der Werte folgt einer Normalverteilung.

Parameter

Parameter Beschreibung
mean Mittelwert der zugrunde liegenden Normalverteilung
stdDev Standardabweichung der zugrunde liegenden Normalverteilung

Eigenschaften

  • Immer positiv, negative Werte sind nicht möglich
  • Rechtsschief, mit langem Ausläufer zu höheren Werten
  • Die meisten Werte liegen nahe am unteren Ende
  • Gelegentlich treten große Werte auf

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Tasks, die normalerweise schnell abgeschlossen sind, gelegentlich aber deutlich länger dauern
  • Finanzdaten und Einkommensverteilungen
  • Antwortzeiten mit gelegentlichen Verzögerungen
  • Dauer der Fehlerbehebung

Beispiel

Tickets beim technischen Support:

  • Die meisten werden innerhalb von 1 bis 2 Stunden gelöst
  • Einige dauern einen ganzen Tag
  • Seltene komplexe Probleme dauern mehrere Tage

Die Lognormalverteilung bildet dieses Muster “meist schnell, gelegentlich lang” ab.

Weibull-Verteilung

Eine flexible Verteilung, die häufig in der Zuverlässigkeitstechnik und bei Ausfallanalysen eingesetzt wird.

Parameter

Parameter Beschreibung
scale Skalierungsparameter, also die charakteristische Lebensdauer
shape Formparameter, der die Form der Verteilung bestimmt

Auswirkungen des Formparameters

Formwert Verhalten der Verteilung
shape kleiner als 1 Sinkende Ausfallrate, Frühausfälle
shape = 1 Konstante Ausfallrate, Exponentialverteilung
shape größer als 1 Steigende Ausfallrate, Verschleißausfälle

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Ausfallzeiten von Geräten
  • Zeit-bis-Ereignis-Analysen
  • Modellierung der Zuverlässigkeit
  • Wenn Sie die Form der Verteilung flexibel steuern müssen

Beta-Verteilung

Eine flexible Verteilung, die Werte zwischen einem Minimum und einem Maximum erzeugt. Ihre Form wird durch zwei Parameter gesteuert. Es handelt sich um die verallgemeinerte Beta-Verteilung mit vier Parametern.

Parameter

Parameter Beschreibung
min Kleinster möglicher Wert
max Größter möglicher Wert
alpha Erster Formparameter (α > 0)
beta Zweiter Formparameter (β > 0)

Eigenschaften

  • Die Werte liegen immer zwischen min und max
  • Je nach α und β ist die Form äußerst flexibel
  • Wenn α = β, ist die Verteilung symmetrisch um den Mittelpunkt von [min, max]
  • Wenn α < β, neigen die Werte zu min, also nach links
  • Wenn α > β, neigen die Werte zu max, also nach rechts
  • Wenn α = β = 1, entsteht eine Gleichverteilung auf [min, max]
  • Mittelwert = min + (max − min) × α / (α + β)

Auswirkungen des Formparameters

Parameter Verhalten der Verteilung
α = 1, β = 1 Gleichverteilt über [min, max]
α = β Symmetrische Glockenform mit Zentrum im Mittelpunkt
α < β Linksschief, die Werte gruppieren sich nahe min
α > β Rechtsschief, die Werte gruppieren sich nahe max
α < 1, β < 1 U-förmig, die Werte gruppieren sich an beiden Extremen

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Begrenzte Größen, deren Wertebereich bekannt ist und deren Form Sie steuern möchten
  • Task-Dauern, die sich nahe einem Ende eines bekannten Wertebereichs gruppieren
  • Modellierung von Wahrscheinlichkeiten oder Erfolgsraten, mit min=0 und max=1
  • Qualitätswerten, Abschlussquoten oder Ertragsraten
  • Expertenschätzungen mit bekanntem Wertebereich und einer Vorstellung davon, wo sich die Werte gruppieren

Beispiel

Eine Prüfaufgabe dauert zwischen 2 und 15 Minuten. Die meisten Prüfungen werden eher am unteren Ende abgeschlossen: Verwenden Sie Beta(min=2, max=15, α=2, β=5). Der Mittelwert liegt bei etwa 2 + 13 × 2/7 ≈ 5,7 Minuten. Die Werte gruppieren sich am unteren Ende, liegen jedoch nie unter 2 oder über 15.

Pearson-VI-Verteilung

Eine fortgeschrittene Verteilung für komplexe, schiefe Muster, die sich nicht mit einfacheren Modellen abbilden lassen.

Parameter

Parameter Beschreibung
alpha1 Erster Formparameter
alpha2 Zweiter Formparameter
beta Skalierungsparameter

Wann Sie diese Verteilung verwenden sollten

  • Komplexe Verteilungen, die aus Datenanalysen abgeleitet wurden
  • Wenn einfachere Verteilungen nicht zu Ihren historischen Daten passen
  • Szenarien für fortgeschrittene statistische Modellierung

Die passende Verteilung auswählen

Schnellübersicht: Bearbeitungszeiten

Ihre Situation Empfohlene Verteilung
Die Zeiten schwanken symmetrisch um einen Mittelwert Normal
Sie kennen nur den Wertebereich von min bis max Gleichverteilt
Sie kennen den typischen Wert sowie Best Case und Worst Case Dreiecksverteilung
Meist schnell, gelegentlich deutlich länger Lognormal
Konstante Dauer, selten Fest
Anteile oder Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 Beta

Schnellübersicht: Eingangsrate

Ihre Situation Empfohlene Verteilung
Zufällige, unabhängige Eingänge Poisson
Eingänge mit konstanter Rate Fest

Bewährte Vorgehensweisen

Einfach beginnen

Beginnen Sie mit Normal- oder Dreiecksverteilungen. Sie sind leicht zu verstehen und zu parametrisieren und liefern in der Regel ausreichend gute Ergebnisse. Ergänzen Sie nur dann weitere Komplexität, wenn sie erforderlich ist.

Expertenwissen verwenden

Fachleute können sehr gute Schätzungen liefern:

  • “Best Case?” → Minimum
  • “Typischer Wert?” → Mittelwert oder Modus
  • “Worst Case?” → Maximum

Mit Daten validieren

Wenn historische Daten vorliegen:

  1. Passen Sie Verteilungen an Ihre Daten an
  2. Vergleichen Sie simulierte Ergebnisse mit der tatsächlichen Leistung
  3. Verfeinern Sie die Verteilungsparameter

Ausreißer berücksichtigen

Reale Prozesse enthalten häufig Ausreißer. Lognormal- und Weibullverteilungen können diese besser abbilden als Normal- oder Dreiecksverteilungen.

An das Prozessverhalten anpassen

  • Symmetrische Schwankungen → Normal
  • Begrenzte Schwankungen → Dreiecksverteilung oder Gleichverteilung
  • Rechtsschiefe Verteilung → Lognormal
  • Anteile von 0 bis 1 → Beta
  • Komplexe Muster → Weibull oder Pearson VI

Nächste Schritte

Periodizität
Erfahren Sie, wie sich Verteilungen je nach Zeitraum ändern können, etwa während Geschäftszeiten oder in verschiedenen Saisons.
Simulationen ausführen
Wenden Sie Verteilungen bei der Konfiguration Ihrer Simulation an.
Funktionsweise
Erfahren Sie, wie die Simulations-Engine Verteilungen verwendet.

Zugehörige Dokumentation