Statistische Verteilungen

Warum Verteilungen verwenden?

In der Realität schwanken Prozessabläufe. Ein Kundendienstgespräch dauert fünf Minuten, ein anderes 25 Minuten. An einem Tag gehen 50 Bestellungen ein, am nächsten 120. Diese natürliche Schwankung gehört zu den grundlegenden Eigenschaften von Geschäftsprozessen.

Feste Werte wie „jede Aktivität dauert genau 10 Minuten“ führen zu unrealistischen Simulationen. Verteilungen bilden Schwankungen mathematisch ab und sorgen dafür, dass sich Simulationen wie echte Prozesse verhalten. Mit einer kostenlosen Testphase können Sie Verteilungen in Ihrem eigenen Prozess ausprobieren.

Auswirkungen von Schwankungen

Betrachten Sie zwei Szenarien für eine Aufgabe mit einer durchschnittlichen Dauer von 10 Minuten:

Szenario	Verteilung	Auswirkung auf die Simulation
Feste Dauer: 10 Min.	Keine Schwankung	Unrealistische Warteschlangen, vorhersehbare Abläufe
Normalverteilung (Mittelwert=10, Standardabweichung=3)	Realistische Schwankung	Natürliches Warteschlangenverhalten, realistische Verzögerungen

Das zweite Szenario bildet die Realität besser ab: Manche Aufgaben sind schnell erledigt, andere dauern länger. Diese Schwankungen führen zu Warteschlangeneffekten, wie sie auch in realen Prozessen auftreten.

Verfügbare Verteilungen

ProcessMind bietet neun Verteilungstypen, um unterschiedliche Arten von Schwankungen abzubilden:

Verteilung	Geeignet für	Wichtige Parameter
Fest	Konstante, unveränderliche Werte	Wert
Normal	Symmetrische Schwankungen um einen Mittelwert	mean, stdDev
Einheitlich	Gleiche Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Wertebereichs	min, max
Dreieckig	Wertebereich mit einem wahrscheinlichsten Wert	min, mode, max
Poisson	Zufällige Ereigniseingänge	lambda, rateUnit
Lognormal	Rechtsschiefe Verteilung, meist kurze, gelegentlich lange Zeiten	mean, stdDev
Weibull	Zuverlässigkeits- und Ausfallanalysen	scale, shape
Beta	Flexible Verteilungsform zwischen Minimum und Maximum	min, max, alpha, beta
Pearson VI	Komplexe schiefe Verteilungen	alpha1, alpha2, beta

Fest-Verteilung

Die einfachste Verteilung: Sie gibt immer denselben Wert zurück.

Parameter

Parameter	Beschreibung
Wert	Der konstante Wert, der zurückgegeben wird

Merkmale

• Keine Schwankungen
• Jede Stichprobe gibt genau den festgelegten Wert zurück
• Geeignet zur Modellierung systemgesteuerter oder automatisierter Schritte

Wann verwenden?

• Automatisierte Systemreaktionen mit gleichbleibender Dauer
• Regulatorische Zeitüberschreitungen oder Fristen
• Erste Simulationseinrichtung, bevor Schwankungen hinzugefügt werden
• Modellierung von SLAs oder vertraglichen Zeitvorgaben

Beispiel

Eine automatisch generierte E-Mail wird immer genau nach 5 Sekunden versendet.

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Die bekannte „Glockenkurve“: Die Werte verteilen sich symmetrisch um einen Mittelwert. Je weiter sie vom Mittelpunkt entfernt sind, desto geringer ist ihre Wahrscheinlichkeit.

Parameter

Parameter	Beschreibung
mean	Mittelwert (Mittelpunkt der Kurve)
stdDev	Standardabweichung (Streuung der Werte)

Merkmale

• Symmetrische Verteilung um den Mittelwert
• 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung
• 95 % der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen
• 99,7 % der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen
• Theoretisch sind auch negative Werte möglich, die Simulation berücksichtigt dies

Wann verwenden?

• Verarbeitungszeiten, die symmetrisch um einen Mittelwert schwanken
• Messwerte mit zufälligen Abweichungen
• Werte, die von vielen kleinen, unabhängigen Faktoren beeinflusst werden

Beispiel

Eine Dateneingabe dauert durchschnittlich 5 Minuten, bei einer Standardabweichung von 1 Minute:

• 68 % der Eingaben dauern 4 bis 6 Minuten
• 95 % dauern 3 bis 7 Minuten
• Nur wenige dauern weniger als 2 oder mehr als 8 Minuten

Einheitliche Verteilung

Jeder Wert innerhalb eines Bereichs ist gleich wahrscheinlich. So entsteht eine gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Parameter

Parameter	Beschreibung
min	Kleinster möglicher Wert
max	Größter möglicher Wert

Merkmale

• Gleichmäßige Wahrscheinlichkeit: Kein Wert ist wahrscheinlicher als ein anderer
• Klare Grenzen bei min und max
• Der Mittelwert entspricht genau (min + max) / 2

Wann verwenden?

• Wenn nur der Wertebereich, nicht aber ein typischer Wert bekannt ist
• Zufällige Auswahl aus einem Wertebereich
• Wartezeit bis zu einem geplanten Ereignis
• Modellierung von Unsicherheit ohne historische Daten

Beispiel

Eine Genehmigung dauert zwischen 2 und 8 Minuten. Es gibt keine Angaben dazu, welche Dauer typisch ist. Alle Zeiten innerhalb dieses Bereichs sind gleich wahrscheinlich.

Dreieckige Verteilung

Eine einfache Verteilung mit einem Minimum, einem Maximum und dem wahrscheinlichsten Wert (Modus), die eine Dreiecksform ergibt.

Parameter

Parameter	Beschreibung
min	Kleinster möglicher Wert
mode	Wahrscheinlichster Wert (Spitze des Dreiecks)
max	Größter möglicher Wert

Merkmale

• Die Werte häufen sich um den Modus
• Die Werte liegen zwischen min und max, außerhalb dieses Bereichs gibt es keine Ausreißer
• Die Verteilung ist asymmetrisch, wenn mode ≠ (min + max) / 2
• Lässt sich anhand von Erfahrungswerten leicht schätzen

Wann verwenden?

• Wenn Sie wissen: „Typischerweise X, aber zwischen Y und Z“
• Für Schätzungen durch Fachleute
• Wenn Normalverteilungen unrealistische negative Werte ergeben könnten

Beispiel

Prüfung einer Rechnung:

• Bestmöglicher Fall (min): 2 Minuten
• Typischer Fall (mode): 5 Minuten
• Schlimmster Fall (max): 15 Minuten

Die meisten Prüfungen dauern etwa 5 Minuten. Bei komplexen Rechnungen kann es bis zu 15 Minuten dauern.

Poisson-Verteilung

Modelliert die Anzahl der Ereignisse innerhalb eines festgelegten Zeitraums und eignet sich besonders für Eingangsprozesse.

Parameter

Parameter	Beschreibung
lambda	Durchschnittliche Ereignisrate
rateUnit	Zeiteinheit für die Rate (perHour, perDay, perWeek, perMonth, perYear)

Merkmale

• Diskrete Werte (ganze Zahlen: 0, 1, 2, 3 usw.)
• Die Varianz entspricht dem Mittelwert
• Ereignisse sind unabhängig voneinander
• Eignet sich zur Modellierung zufälliger Eingänge

Wann verwenden?

• Eingänge von Cases in den Prozess
• Kundeneingänge
• Generierung von Bestellungen
• Szenarien mit „Ereignissen pro Zeitraum“

Beispiel

Mit Lambda=20 und rateUnit=perDay werden etwa 20 Cases pro Tag modelliert. An manchen Tagen können es 15, an anderen 25 sein. Das entspricht den natürlichen Schwankungen zufälliger Eingänge.

Lognormalverteilung

Eine rechtsschiefe Verteilung, bei der die meisten Werte niedrig sind, gelegentlich aber auch hohe Werte auftreten. Der Logarithmus der Werte folgt einer Normalverteilung.

Parameter

Parameter	Beschreibung
mean	Mittelwert der generierten Werte, nicht ihrer Logarithmen
stdDev	Standardabweichung der generierten Werte, nicht ihrer Logarithmen

Merkmale

• Immer positiv, negative Werte sind ausgeschlossen
• Rechtsschief: langer Ausläufer zu höheren Werten
• Die meisten Werte liegen im unteren Bereich
• Gelegentlich treten hohe Werte auf

Wann verwenden?

• Aufgaben, die meist schnell erledigt sind, gelegentlich aber deutlich länger dauern
• Finanzdaten und Einkommensverteilungen
• Reaktionszeiten mit gelegentlichen Verzögerungen
• Dauer der Fehlerbehebung

Beispiel

Tickets beim technischen Support:

• Die meisten werden innerhalb von 1 bis 2 Stunden gelöst
• Einige benötigen einen ganzen Tag
• Seltene, komplexe Fälle dauern mehrere Tage

Die Lognormalverteilung bildet dieses Muster ab: meist schnell erledigt, gelegentlich dauert es länger.

Weibull-Verteilung

Eine flexible Verteilung, die häufig in der Zuverlässigkeitstechnik und bei Ausfallanalysen eingesetzt wird.

Parameter

Parameter	Beschreibung
scale	Skalierungsparameter (charakteristische Lebensdauer)
shape	Formparameter (bestimmt die Verteilungsform)

Auswirkung der Formparameter

Wert von shape	Verhalten der Verteilung
shape kleiner als 1	Sinkende Ausfallrate (Frühausfälle)
shape = 1	Konstante Ausfallrate (Exponentialverteilung)
shape größer als 1	Steigende Ausfallrate (Verschleiß)

Wann verwenden?

• Ausfallzeiten von Geräten
• Zeit-bis-Ereignis-Analysen
• Zuverlässigkeitsmodellierung
• Wenn Sie die Form der Verteilung flexibel steuern müssen

Beta-Verteilung

Eine flexible Verteilung, die Werte zwischen einem Minimum und einem Maximum erzeugt. Zwei Parameter bestimmen ihre Form. Es handelt sich um die verallgemeinerte Beta-Verteilung mit vier Parametern.

Parameter

Parameter	Beschreibung
min	Kleinster möglicher Wert
max	Größter möglicher Wert
alpha	Erster Formparameter (α > 0)
beta	Zweiter Formparameter (β > 0)

Merkmale

• Die Werte liegen immer zwischen min und max
• α und β ermöglichen eine sehr flexible Verteilungsform
• Bei α = β ist die Verteilung symmetrisch um den Mittelpunkt von [min, max]
• Bei α < β häufen sich die Werte nahe min (linksschief)
• Bei α > β häufen sich die Werte nahe max (rechtsschief)
• Bei α = β = 1 entspricht die Verteilung einer einheitlichen Verteilung auf [min, max]
• Mittelwert = min + (max − min) × α / (α + β)

Auswirkung der Formparameter

Parameter	Verhalten der Verteilung
α = 1, β = 1	Einheitlich (flach) über [min, max]
α = β	Symmetrische Glockenkurve mit Mittelpunkt im Zentrum
α < β	Linksschief (Werte häufen sich nahe min)
α > β	Rechtsschief (Werte häufen sich nahe max)
α < 1, β < 1	U-förmig (Werte häufen sich an beiden Enden)

Wann verwenden?

• Begrenzte Werte, deren Bereich bekannt ist und deren Verteilungsform Sie steuern möchten
• Aufgabendauern, die sich nahe einem Ende eines bekannten Bereichs häufen
• Modellierung von Wahrscheinlichkeiten oder Erfolgsquoten (min=0, max=1)
• Qualitätswerte, Abschlussquoten oder Ausbeuten
• Schätzungen von Fachleuten mit bekanntem Wertebereich und einer Vorstellung davon, wo sich die Werte häufen

Beispiel

Eine Prüfaufgabe dauert zwischen 2 und 15 Minuten. Die meisten Prüfungen sind eher am unteren Ende des Bereichs abgeschlossen. Verwenden Sie Beta(min=2, max=15, α=2, β=5). Der Mittelwert liegt bei etwa 2 + 13 × 2/7 ≈ 5,7 Minuten. Die Werte häufen sich im unteren Bereich, liegen aber immer zwischen 2 und 15 Minuten.

Pearson-VI-Verteilung

Eine fortgeschrittene Verteilung für komplexe schiefe Muster, die sich mit einfacheren Modellen nicht abbilden lassen.

Parameter

Parameter	Beschreibung
alpha1	Erster Formparameter
alpha2	Zweiter Formparameter
beta	Skalierungsparameter

Wann verwenden?

• Komplexe Verteilungen, die aus Datenanalysen abgeleitet wurden
• Wenn einfachere Verteilungen nicht zu Ihren historischen Daten passen
• Für fortgeschrittene statistische Modellierungen

Die passende Verteilung auswählen

Kurzübersicht: Verarbeitungszeiten

Ihre Situation	Empfohlene Verteilung
Zeiten schwanken symmetrisch um einen Mittelwert	Normal
Nur der Wertebereich (min bis max) ist bekannt	Einheitlich
Typischer Wert, bester und schlechtester Fall sind bekannt	Dreieckig
Meist kurze, gelegentlich deutlich längere Zeiten	Lognormal
Dauer ist konstant (selten)	Fest
Anteile oder Wahrscheinlichkeiten (0 bis 1)	Beta

Kurzübersicht: Eingangsraten

Ihre Situation	Empfohlene Verteilung
Zufällige, unabhängige Eingänge	Poisson
Eingänge mit konstanter Rate	Fest

Bewährte Vorgehensweisen

Einfach anfangen

Beginnen Sie mit Normal- oder Dreieckverteilungen. Sie sind leicht verständlich und zu parametrieren und reichen in der Regel aus. Erhöhen Sie die Komplexität nur bei Bedarf.

Erfahrungswissen einbeziehen

Fachleute können fundierte Schätzungen abgeben:

• „Bester Fall?“ → Minimum
• „Typischer Fall?“ → Mittelwert oder Modus
• „Schlimmster Fall?“ → Maximum

Mit Daten abgleichen

Wenn historische Daten vorliegen:

1. Passen Sie Verteilungen an Ihre Daten an
2. Vergleichen Sie die Simulationsergebnisse mit der tatsächlichen Leistung
3. Optimieren Sie die Verteilungsparameter

Ausreißer berücksichtigen

In realen Prozessen treten häufig Ausreißer auf. Lognormal- und Weibull-Verteilungen bilden diese besser ab als Normal- oder Dreieckverteilungen.

Verteilung an das Prozessverhalten anpassen

• Symmetrische Schwankungen → Normal
• Begrenzte Schwankungen → Dreieckig oder Einheitlich
• Rechtsschiefe Verteilung → Lognormal
• Anteile (0 bis 1) → Beta
• Komplexe Muster → Weibull oder Pearson VI

Ein individuelles BPMN-Modell generieren

Nächste Schritte

Funktionsweise

Erfahren Sie, wie die Simulations-Engine Verteilungen verwendet.